Unidad II: Angulos y Medidas

1- Sistemas de medida de ángulos

1.1- Radianes

Un radián es la unidad de medida de un ángulo con vértice en el centro de una circunferencia y cuyos lados delimitan un arco de circunferencia que tiene la misma longitud que el radio. El radián (rad) es la unidad de medida para ángulos en el Sistema Internacional de Unidades (S.I.).

Definición de radián

La relación del radián con la otra unidad de medida para ángulos más ampliamente utilizada, los grados sexagesimales o simplemente grados (º), es la siguiente:

1 vuelta completa de la circunferencia = 360º = 2 · π radianes

Para entender la anterior igualdad, se parte de saber que la medida en radianes de un ángulo (θ) medido en una circunferencia es igual a la longitud del arco que abarca dividida entre el radio de dicha circunferencia, es decir:

	Longitud del arco
θ_(radianes) =
	Radio

Por tanto, cuando se trata del ángulo correspondiente a una circunferencia completa, cuya longitud total es 2·π·r (siendo r el radio de la circunferencia) le corresponden en radianes un ángulo de:

	2·π·r
θ_{(circunferencia completa)} =		= 2·π radianes
	r

En el sistema sexagesimal, el ángulo que abarca la circunferencia completa mide 360º, por lo que se puede establecer la ya vista relación entre grados y radianes:

1 vuelta completa = 360º = 2 · π radianes

Otras equivalencias útiles entre grados y radianes son las siguientes:

0º = 0 rad

90º = π/2 rad

180º = π rad

1.2- Sistema sexagesimal

El sistema sexagesimal es un sistema de unidades muy empleado cuyo fundamento es que cada unidad se divide en 60 unidades de una orden inferior, es decir, es un sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad fundamentalmente para la medida de ángulos y también en la medida del tiempo.

La unidad de medida de ángulos en el sistema sexagesimal es el grado (º), que es el resultado de dividir el ángulo llano en 180 partes iguales, o bien un ángulo recto en 90 partes, o un ángulo completo en 360 partes. A cada una de esas partes se les llama grado (º). Así, un ángulo llano mide 180º, un ángulo recto 90º y un ángulo completo 360º.

A su vez, cada grado se subdivide en otras unidades inferiores, en concreto, en sesenta partes iguales. De esta manera, cada grado se divide en 60 minutos (1º = 60´) y cada minuto, a su vez, en 60 segundos (1´ = 60´´).

• Medidas de ángulos: 1 grado (º) → 60 minutos (´) → 60 segundos (´´)

• Medidas de tiempo: 1 hora → 60 minutos (´) → 60 segundos (´´)

Por tanto, en general, un ángulo en el sistema sexagesimal vendrá expresado en grados, minutos y segundos, de la forma, por ejemplo: 38º 50´ 35´´ (38 grados, 50 minutos y 35 segundos). Si se omiten los minutos y segundos, por ejemplo, 45º, es porque se entiende que es 45º 0´ 0´´.

Cuando un ángulo se mide en grados, minutos y segundos, se dice que está expresado con medida compleja, mientras que si se expresa con una sola clase de unidades, se dice que es una medida incompleja o simple, por ejemplo:

32º → medida simple

11´´ → medida simple

52º 17´ 45´´ → medida compleja

4º 22´ → medida compleja

Para sumar grados expresados en medidas complejas, primero se colocan los grados debajo de los grados, los minutos debajo de los minutos y los segundos debajo de los segundos, y se suman, como se indica en el siguiente ejemplo de la figura:

Suma de grados minutos y segundos

Como se ve en el ejemplo anterior, si los segundos suman más de 60, se divide dicho número entre 60; el resto serán los segundos y el cociente se añadirá a los minutos. Se hace lo mismo para los minutos, si estos resultasen también una cantidad mayor de 60.

- Paso de una medida compleja a incompleja:

Para pasar de medidas complejas a incomplejas hay que transformar cada una de las unidades que tenemos en la que queremos obtener y posteriormente sumarlas, por ejemplo:

Pasar de la forma compleja 2º 25´ 30´´ a un simple en segundos:

1º) Se pasan los 2º a minutos: 2·60 = 120 minutos, y posteriormente a segundos: 120·60 = 7200 segundos

2º) Se pasan los 25 minutos a segundos: 25·60 = 1500 segundos

3º) Se suman todos los segundos: 7200´´ + 1500´´ + 30´´ = 8730 ´´

Por tanto, 2º 25´ 30´´ = 8730 segundos

- Pasar de unidades incomplejas a complejas:

Para pasar una medida expresada en unidades incomplejas a complejas, habrá que dividir cuando el caso sea de pasar a unidades de orden superior, o multiplicar para pasar a unidades de orden inferior, por ejemplo:

Pasar una medida expresada en unidades incomplejas a complejas

1.3- Sistema centesimal

El sistema centesimal divide una circunferencia en 400 partes iguales, o bien, un ángulo recto en 100 partes iguales, y a cada una de esas partes se le denomina grado centesimal o gradián, y se simboliza con una «g» minúscula como superíndice del número, por ejemplo 35^g.

A su vez, cada grado centesimal se subdivide en unidades más pequeñas dividiéndolo en cien partes iguales, y dando lugar al minuto. Así, el minuto (m) en este sistema es la centésima parte del grado (1g = 100m) y el segundo (s) la centésima parte del minuto (1m = 100s).

De la misma manera, el segundo se divide en décimas, centésimas, milésimas,... Un ejemplo de un ángulo expresado según el sistema centesimal sería: 40g 30m 10s.

Por otro lado, el método para expresar en forma decimal un grado expresado en minutos y segundos centesimales es muy sencillo, ya que basta con colocar una coma después de los grados, así 40^g 30^m 10^s = 40,3010g.

2- Métodos de conversión entre los sistemas de medida de ángulo

2.1- Pasar de radianes a grados sexagesimales

Para pasar de radianes a grados sexagesimales hay que recordar la relación para un ángulo que describe una circunferencia completa expresado en grados y radianes, como:

360º = 2 · π radianes

Por tanto, la expresión general que permite relacionar las medidas de un ángulo expresadas en grados y radianes es la siguiente:

G	=	R

360º		2 · π

donde,

G es la medida del ángulo expresada en grados sexagesimales (º)

R es la medida del ángulo expresada en radianes (rad)

Si lo que se desea es calcular los grados sexagesimales a partir de radianes, se despeja G de la expresión anterior, quedando:

	R
G =		· 360º
	2·π

- EJEMPLO 1: Pasar 1 radián a grados sexagesimales

Sustituyendo el valor de 1 radián en la expresión anterior resulta:

	1
G =		· 360º = 57,29578º
	2·π

Por tanto, 1 rad = 57,29578º

También se puede expresar la medida de ángulo obtenida en forma compleja (grados minutos y segundos) de la siguiente forma:

Grados: 57,29578º = 57º + 0,29578º

Minutos: 0,29578º → 0,29578 · 60 = 17,7468´ → 17,7468´ = 17´+ 0,7468´

Segundos: 0,7468´ · 60 = 44,81´´

Por tanto, 1 rad = 57,29578º = 57º 17´ 44,81´´ (57 grados 17 minutos 44,81 segundos)

- EJEMPLO 2: Pasar π/4 radianes a grados sexagesimales

Sustituyendo π/4 en la expresión anterior se obtiene:

	π/4
G =		· 360º = 45º
	2·π

Por tanto, π/4 rad = 45º. O también:

π/4 rad = 45º = 45º 0´ 0´´ (45 grados 0 minutos 0 segundos)

2.2- Pasar de radianes a grados centesimales

Para pasar de radianes a grados centesimales se parte de la relación que hay para un ángulo que describe una circunferencia completa expresado en grados centesimales y radianes:

400 ^g = 2 · π radianes

Por tanto, la expresión general que permite relacionar las medidas de un ángulo expresadas en grados centesimales y radianes es la siguiente:

C	=	R

400^g		2 · π

donde,

C es la medida del ángulo expresada en grados centesimales (g)

R es la medida del ángulo expresada en radianes (rad)

Si lo que se pide es calcular los grados centesimales a partir de radianes, se despeja C de la expresión anterior, quedando:

	R
C =		· 400 ^g
	2·π

- EJEMPLO: Pasar 2 radianes a grados centesimales

Sustituyendo el valor de 2 radianes en la expresión anterior resulta:

	2
C =		· 400 ^g = 127,3240 ^g
	2·π

Por tanto, 2 rad = 127,3240 ^g

El resultado anterior del ángulo se puede expresar también en forma compleja (grados minutos y segundos) de la siguiente forma:

Grados Centesimales: 127,3240^g = 127^g + 0,3240^g

Minutos: 0,3240^g → 0,3240 · 100 = 34,40m → 32,40m = 32m + 0,40m

Segundos: 0,40 · 100 = 40s

Por tanto, 2 rad = 127,3240 g = 127g 32m 40s (127 grados centesimales 32 minutos 40 segundos)

2.3- Pasar de grados sexagesimales a radianes

Para pasar de grados sexagesimales a radianes se parte de nuevo de la relación de un ángulo completo expresado en grados sexagesimales y radianes:

360º = 2 · π radianes

Por tanto, la expresión general que permite relacionar las medidas de un ángulo expresado en grados sexagesimales y radianes es la ya conocida:

G	=	R

360º		2 · π

donde,

G es la medida del ángulo expresada en grados sexagesimales (º)

R es la medida del ángulo expresada en radianes (rad)

Si lo que se desea es calcular el valor en radianes de un ángulo expresado en grados sexagesimales, se despeja R de la expresión anterior, quedando:

	G
R =		· 2 · π
	360º

- EJEMPLO 1: Pasar un ángulo de 45º a radianes

Sustituyendo el valor de 45º en la expresión anterior resulta:

	45º
R =		· 2 · π = π/4
	360º

Por tanto, 45º = π/4 radianes.

- EJEMPLO 2: Pasar un ángulo de 60º 18´ 50´´ a radianes

En este caso se parte de un ángulo expresado en grados minutos y segundos y se quiere pasar a radianes.

En primer lugar, habrá que pasar el ángulo expresado en grados minutos y segundos (forma compleja) a simple (sólo en grados). Para pasar 60º 18´ 50´´ a forma simple (º) se opera de la siguiente forma:

1º) Los grados se dejan en grados: 60º → 60º

2º) Los minutos se pasan a grados: 18´ → 18´/60 = 0,3º

3º) Los segundos se pasan a minutos, y éstos a grados: 50´´ → 50´´/60 = 0,8333´ → 0,8333´/60 = 0,0139º

4º) Se suman todos los grados obtenidos: 60º + 0,3º + 0,0139º = 60,3139º

Por tanto, 60º 18´ 50´´ = 60,3139º

Ahora se opera como en el ejemplo anterior, para pasar de grados sexagesimales a radianes:

Sustituyendo el valor de 60,3139º en la expresión anterior resulta:

	60,3139º
R =		· 2 · π = 1,0527 radianes
	360º

Por tanto, 60º 18´ 50´´ = 1,0527 radianes.

2.4- Pasar de grados sexagesimales a grados centesimales

Para pasar de grados sexagesimales a centesimales se parte de la relación del ángulo que describe una circunferencia completa expresado en grados sexagesimales y centesimales:

1 vuelta completa = 360º = 400 ^g

Por tanto, la expresión general que permite relacionar las medidas de un ángulo expresado en grados sexagesimales y centesimales sería:

G	=	C

360º		400 ^g

donde,

G es la medida del ángulo expresada en grados sexagesimales (º)

C es la medida del ángulo expresada en grados centesimales (g)

Si lo que se pide es calcular los grados centesimales a partir de grados sexagesimales, se despeja C de la expresión anterior, quedando:

	G
C =		· 400 ^g
	360º

- EJEMPLO 1: Pasar 90º sexagesimales a centesimales

Sustituyendo el valor de 90º en la expresión anterior resulta:

	90º
C =		· 400 ^g = 100 ^g
	360º

Por tanto, 90º = 100 ^g

- EJEMPLO 2: : Pasar un ángulo expresado en el sistema sexagesimal de 23º 37´ 45´´ a grados centesimales

En primer lugar, habrá que pasar el ángulo expresado en grados minutos y segundos (forma compleja) a simple (sólo en grados). Para pasar 23º 37´ 45´´ a forma simple (º) se opera de la siguiente forma:

1º) Los grados se dejan en grados: 23º → 23º

2º) Los minutos se pasan a grados: 37´ → 37´/60 = 0,6167º

3º) Los segundos se pasan a minutos, y éstos a grados: 45´´ → 45´´/60 = 0,75´ → 0,75´/60 = 0,0125º

4º) Se suman todos los grados obtenidos: 23º + 0,6167º + 0,0125º = 23,6292º

Por tanto, 23º 37´ 45´´ = 23,6292º

Ahora se aplica la expresión anterior para pasar de grados sexagesimales a centesimales:

	23,6292º
C =		· 400 ^g = 26,2547 ^g
	360º

Por tanto, 23,6292º = 26,2547 ^g

Por último, sólo faltará expresar los grados centesimales obtenidos en forma simple a forma compleja (grados, minutos y segundos centesimales):

Grados Centesimales: 26,2547g = 26g + 0,2547g

Minutos: 0,2547g → 0,2547·100 = 25,47m → 25,47m = 25m+ 0,47m

Segundos: 0,47m·100 = 47s

Por tanto, finalmente se tiene que: 23,6292º = 26,2547g = 26g 25m 47s

2.5- Pasar de grados centesimales a grados sexagesimales

Para pasar de grados centesimales a sexagesimales se parte, como en el apartado anterior, de la relación del ángulo que describe una circunferencia completa expresado en grados centesimales y sexagesimales:

1 vuelta completa = 400 ^g = 360º

Por tanto, de nuevo la expresión general que permite relacionar las medidas de un ángulo expresado en grados centesimales y sexagesimales sería:

C	=	G

400 ^g		360º

donde,

C es la medida del ángulo expresada en grados centesimales (g)

G es la medida del ángulo expresada en grados sexagesimales (º)

Si lo que se pide es calcular los grados sexagesimales a partir del ángulo expresado en grados centesimales, se despeja G de la expresión anterior, quedando:

	C
G =		· 360º
	400 ^g

- EJEMPLO 1: Pasar 90 ^g centesimales a grados sexagesimales

Sustituyendo el valor de 90 ^g en la expresión anterior resulta:

	90 ^g
G =		· 360º = 81º
	400 ^g

Por tanto, 90 ^g = 81º

- EJEMPLO 2: : Pasar un ángulo expresado en el sistema centesimal 43g 21m 58s a grados sexagesimales (expresando también el resultado en grados minutos segundos sexagesimales)

En primer lugar, habrá que pasar el ángulo expresado en grados minutos y segundos centesimales (forma compleja) a la forma simple (sólo grados). Para pasar 43g 21m 58s a forma simple (sólo grados) se opera de la siguiente forma:

1º) Los grados centesimales se dejan en grados centesimales: 43^g → 43^g

2º) Los minutos centesimales se pasan a grados centesimales: 21´ → 21´/100 = 0,21^g

3º) Los segundos centesimales se pasan a minutos centesimales, y éstos a grados centesimales: 58´´ → 58´´/100 = 0,58´ → 0,58´/100 = 0,0058^g

4º) Se suman todos los grados centesimales obtenidos: 43^g + 0,21^g + 0,0058^g = 43,2158 ^g

Por tanto, 43g 21m 58s = 43,2158 ^g

Ahora se aplica la expresión anterior para pasar de grados centesimales a grados sexagesimales:

	43,2158 ^g
G =		· 360º = 38,8942º
	400 ^g

Por último, sólo faltará expresar los grados sexagesimales obtenidos a la forma compleja (grados, minutos y segundos), de la siguiente forma:

Grados: 38,8942º = 38º + 0,8942º

Para obtener los minutos: 0,8942º → 0,8942 · 60 = 53,6520´ → 53,6520´ = 53´+ 0,6520´

Para obtener los segundos: 0,6520´ · 60 = 39,12´´

Por tanto, 43 g 21 m 58 s = 38,8942º = 38º 53´ 39,12´´ (38 grados 53 minutos 39,12 segundos sexagesimales)

Resumiendo, para pasar de un sistema de medida de angulos a otro, podemos utilizar la siguiente expresión:

donde:

S: grados sexagesimales

C: grados Centesimales

R: Radianes

Ejercicios propuestos:

Clasificación de ángulos según su medida

Ángulo agudo

Definición de un ángulo agudo representación gráfica Mide menos de $90^{\circ}$ .

Ángulo recto

Ángulo recto representación gráfica Mide $90^{\circ}$ .

Ángulo obtuso

Ángulo obtuso representación gráfica Mide más de $90^{\circ}$ .

Ángulo llano

Ángulo llano representación gráfica Mide $180^{\circ}$ .

Ángulo convexo

Ángulo convexo representación gráfica Mide menos que un ángulo llano.

Ángulo cóncavo

Ángulo cóncavo representación gráfica Mide más que un ángulo llano.

Ángulo nulo

Ángulo nulo representación gráfica Mide $0^{\circ}$ . Las semirrectas que forman los ángulos coinciden.

Ángulo completo

Ángulo completo representación gráfica Mide $360^{\circ}$ .

Ángulo negativo

Ángulo negativo representación gráfica Mide menos de $0^{\circ}$ .

Los ángulos negativos giran en el sentido horario, es decir, en el sentido en que se mueven las agujas de un reloj.

Un ángulo negativo lo podemos transformar en un ángulo positivo sumándole $360^{\circ}$ .

$-30^{\circ}=360^{\circ}-30^{\circ}=330^{\circ}$

Ángulo mayor de 360°

Ángulo mayor a 360 grados representación gráfica Mide más de una vuelta.

Un ángulo de $390^{\circ}=360^{\circ}+30^{\circ}$ , si lo representamos coincide con un ángulo de $30^{\circ}$ . Un ángulo de $750^{\circ}=2\cdot 360^{\circ}+30^{\circ}$ , si lo representamos coincide con un ángulo de $30^{\circ}$ . Si queremos pasar un ángulo a la primera vuelta, dividimos el ángulo entre $360^{\circ}$ : El cociente es el número de vueltas que da.El resto es ángulo resultante que corresponde a la primera vuelta.

Clasificación de ángulos según su posición

Ángulos consecutivos

Son aquellos que tienen el vértice y un lado común.

Ángulos adyacentes

Son aquellos que tienen el vértice y un lado común, y los otros lados situados uno en polongación del otro.

Forman un ángulo llano.

Ángulos opuestos por el vértice

Son los que teniendo el vértice común, los lados de uno son prolongación de los lados del otro.

Los ángulos $1$ y $3$ son iguales.

Los ángulos $2$ y $4$ son iguales.

Clasificación de ángulos según su suma

Ángulos complementarios

Dos ángulos son complementarios si suman $90^{\circ}$ .

Ángulos suplementarios

Dos ángulos son suplementarios si suman $180^{\circ}$ .

Ángulos entre paralelas y una recta transversal

Ángulos correspondientes

Los ángulos $1$ y $2$ son iguales.

Ángulos alternos internos

Los ángulos $2$ y $3$ son iguales.

Ángulos alternos externos

Los ángulos $1$ y $4$ son iguales.

Haga Click Aquí para que haga la siguiente práctica

Rectas Paralelas y Perpendiculares

1- Rectas perpendiculares

Dos rectas son perpendiculares cuando al cortarse forman cuatro ángulos iguales.

El trazado de perpendiculares puede efectuarse de las siguientes formas:

- Con escuadra, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma.

- Con compás, por un punto perteneciente a la recta o exterior a la misma.

2- Rectas paralelas

Dos rectas son paralelas cuando no tienen ningún punto en común, o cuando son coincidentes.

El trazado de paralelas puede efectuarse de las siguientes formas:

- Con regla y escuadra

- Con regla y compás

Recta transversal

Una recta transversal, es aquella que intersecta a dos o más rectas. Cuando intersecta rectas perpendiculares, entonces se crean varios ángulos congruentes. Veámoslo. Las rectas k y j son paralelas. La recta l es transversal.

Como te dijimos antes, cuando esto ocurre se forman muchos ángulos congruentes. A continuación, varios términos que deberás recordar:

Ángulos correspondientes – son los ángulos que tienen la misma posición en cada recta. En la imagen hay cuatro pares: ∠1 & ∠5, ∠2 & ∠6, ∠3 & ∠7, ∠4 & ∠8.
Ángulos alternos internos – son aquellos que están en lados opuestos de la transversal y en el interior de las rectas paralelas. En la figura, hay dos pares: ∠4 & ∠6 y ∠1 & ∠5.
Ángulos alternos externos – son ángulos en lados opuestos de la transversal y en el exterior de las paralelas. En la figura hay dos pares: ∠8 & ∠2 y ∠1 & ∠7.

Cuidado: Estos ángulos serán congruentes sólo cuando la transversal corta rectas paralelas.

En el siguiente video se explica con mas detalles sobre rectas paralelas y tranversales: Click Aquí

En el siguiente link encontrás la práctica sobre ángulos entre dos rectas paralelas y una transversal: Click Aquí

Matemática CVA

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