Unidad I: Introducción a la Geometría

Introducción

La geometría es una de las más antiguas ciencias. Inicialmente, constituía un cuerpo de conocimientos prácticos en relación con las longitudes, áreas y volúmenes. En el Antiguo Egipto estaba muy desarrollada, según los textos de Heródoto, Estrabón y Diodoro Sículo. Euclides, en el siglo III a. C. configuró la geometría en forma axiomática, tratamiento que estableció una norma a seguir durante muchos siglos: la geometría euclidiana descrita en «Los Elementos».

El estudio de la astronomía y la cartografía, tratando de determinar las posiciones de estrellas y planetas en la esfera celeste, sirvió como importante fuente de resolución de problemas geométricos durante más de un milenio. René Descartes desarrolló simultáneamente el álgebra y la geometría, marcando una nueva etapa, donde las figuras geométricas, tales como las curvas planas, podrían ser representadas analíticamente, es decir, con funciones y ecuaciones. La geometría se enriquece con el estudio de la estructura intrínseca de los entes geométricos que analizan Euler y Gauss, que condujo a la creación de la topología y la geometría diferencial.

La geometría

es una rama de la matemática que se ocupa del estudio de las propiedades de las figuras en el plano o el espacio, incluyendo: puntos, rectas, planos, politopos (que incluyen paralelas, perpendiculares, curvas, superficies, polígonos, poliedros, etc.).

Es la base teórica de la geometría descriptiva o del dibujo técnico. También da fundamento a instrumentos como el compás, el teodolito, el pantógrafo o el sistema de posicionamiento global (en especial cuando se la considera en combinación con el análisis matemático y sobre todo con las ecuaciones diferenciales).

Sus orígenes se remontan a la solución de problemas concretos relativos a medidas. Tiene su aplicación práctica en física aplicada, mecánica, arquitectura, cartografía, astronomía, náutica, topografía, balística, etc. Y es útil en la preparación de diseños e incluso en la elaboración de artesanía.

Clasificación de la Geometría

La geometría elemental se divide en dos partes, geometría plana (estudia la figuras planas, que tienen únicamente dos dimensiones: largo y ancho) y geometría del espacio (estudia las propiedades de los cuerpos geométricos provistos de largo, ancho y altura o profundidad).

Geometría plana

La geometría plana estudia las figuras planas, que tienen únicamente dos dimensiones: largo y ancho.
Para comprender la geometría plana de manera mas clara, es indispensable, comenzar por la definición de conceptos elementales hasta llegar a nociones más complejas.

Conceptos básicos

Para el estudio de la geometría, es indispensable conocer el concepto intuitivo de punto, recta y plano. Estos son términos no definidos que proveen el inicio de la geometría.

Punto: es el objeto fundamental en geometría, el punto representa solo posición y no tiene dimensión, es decir, largo cero, ancho cero y altura cero. Se representan por letras mayúsculas.

Ejemplo:
Tres puntos

Recta: tiene solo longitud, no tiene ancho ni altura ni grosor. Es un conjunto infinito de puntos que se extienden en una dimensión en ambas direcciones. Una recta se puede representar por:

Semirrecta: la definimos como la porción de una recta que tiene principio pero no tiene fin.

Segmento de Recta: es una porción de la recta con principio y con fin, es decir sabemos donde empieza y donde termina por ende lo podemos medir.

Plano tiene ancho y largo, sin altura ni grosor. Un plano es una superficie en dos dimensiones, se puede pensar como un conjunto de puntos infinitos en dos dimensiones.

Conceptos de Postulados, Teorema, Corolario, Lema

Postulado: Un postulado es una proposición que se admite sin demostración, aunque sin la evidencia del axioma. Por ejemplo: Por un punto exterior a una recta sólo se puede dibujar una sola paralela a la recta.

Teorema: El Teorema como concepto, es una proposición que para ser evidente necesita demostración.

Por ejemplo, la suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos.Ejemplo: Si dos rectas paralelas se cortan con una recta secante se cumple la relación de ángulos siguiente:

1. Los ángulos alternos/internos son iguales.
2. Los ángulos alternos/externos son iguales.
3. Los ángulos correspondientes son iguales.
4. Los ángulos colaterales internos son suplementarios.
5. Los ángulos colaterales externos son suplementario

Corolario: corolario o consecuencia es un teorema la verdad del cual se deduce simplemente de otro ya demostrado.

Lema:Lema es un teorema preliminar que sirve de base para demostrar otras proposiciones

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